Generalización de la mecánica estadística permite regularizar la teoría de los fenómenos críticos

La mecánica estadística es uno de los pilares de la física moderna, y Ludwig Boltzmann (1844-1906) y Josiah Willard Gibbs (1839-1903) fueron sus principales formuladores. Ambos trabajaron para establecer un puente entre la física macroscópica (descrita por la termodinámica) y la física microscópica (basada en el comportamiento de átomos y moléculas). El físico austríaco Boltzmann explicó la segunda ley de la termodinámica en términos estadísticos. Y definió la entropía de un sistema a partir del número de microestados posibles que dicho sistema puede asumir. A diferencia de Boltzmann, que se centró más en la física de los gases y en la distribución de partículas en equilibrio, el estadounidense Gibbs desarrolló un formalismo matemático general, extensible a sistemas más complejos. Juntas, las contribuciones de ambos formaron la base de una física capaz de modelar una gran variedad de fenómenos.

Sin embargo, la mecánica estadística de Boltzmann-Gibbs presenta limitaciones, ya que cuando un sistema se encuentra en determinados regímenes, como transiciones de fase o fenómenos críticos, sus predicciones pueden fallar. Por ejemplo, la mecánica estadística predice la divergencia de ciertas magnitudes termodinámicas en puntos críticos, algo que no se observa experimentalmente. Esto motivó el desarrollo de la llamada “mecánica estadística no extensiva”, propuesta por el físico greco-brasileño Constantino Tsallis, que constituye una generalización de la mecánica estadística de Boltzmann-Gibbs-von Neumann-Shannon.

Un nuevo estudio, liderado por Mariano de Souza en la Universidad Estatal Paulista (Unesp), en colaboración con Constantino Tsallis, del Centro Brasileño de Investigaciones Físicas (CBPF, por sus siglas en portugués), abordó el problema de la divergencia en los puntos críticos. Los resultados fueron publicados en la revista Physical Review B en formato Letter.

“La entropía cuantifica el número de microestados posibles de un sistema. En el contexto de la mecánica estadística de Boltzmann-Gibbs, esta entropía es extensiva, es decir, crece proporcionalmente al tamaño del sistema. Sin embargo, en puntos críticos y transiciones de fase, esa extensividad puede verse violada debido al surgimiento de correlaciones de largo alcance entre las partículas. Esto hace que el enfoque tradicional prediga la divergencia de cantidades como la susceptibilidad magnética isotérmica y el coeficiente de expansión térmica, algo que no concuerda con la realidad experimental”, explica Souza.

Y continúa: “Una herramienta ampliamente utilizada para estudiar estos fenómenos es el parámetro de Grüneisen (Γ), que relaciona la expansión térmica con el calor específico del material. Según la mecánica estadística de Boltzmann-Gibbs, este parámetro también debería divergir en los puntos críticos. No obstante, en la práctica no es posible medir valores infinitos para magnitudes físicas, lo que indica que la teoría necesita ser regularizada”.

En 1988, basándose en el concepto de multifractales, Tsallis propuso una generalización de la entropía de Boltzmann-Gibbs-von Neumann-Shannon, conocida como entropía no aditiva S_q​. Esta formulación introduce un índice entrópico (q), que permite ajustar la forma en que se contabilizan las probabilidades en el cálculo de la entropía. En situaciones habituales, se preserva la teoría de Boltzmann-Gibbs. Sin embargo, en sistemas que presentan fenómenos críticos, un valor específico de q puede restaurar la extensividad de la entropía y eliminar las divergencias previstas por la teoría tradicional.

“Inspirados por este enfoque, reformulamos el parámetro de Grüneisen en términos de S_q. Para ello, utilizamos la versión cuántica del parámetro de Grüneisen, Γ^0K​, para estudiar uno de los modelos más simples que presentan un punto crítico cuántico: el modelo de Ising unidimensional bajo la acción de un campo magnético transversal, como muestra la figura 1. Los resultados mostraron que el límite de Γ^0K​ es infinito para q > q_especial, cero para q < q _especial y finito y no nulo solamente para q = q_especial, siendo q _especial el valor del índice q que recupera la extensividad de la entropía. Es decir, mientras la teoría convencional preveía una divergencia en puntos críticos, el nuevo enfoque basado en la entropía no aditiva regulariza esas divergencias y proporciona valores finitos y consistentes con las observaciones experimentales”, relata Souza.

Los resultados del estudio abren nuevas perspectivas para la comprensión de los fenómenos críticos en sistemas complejos. La regularización de la teoría puede ser aplicada a una variedad de sistemas, desde materiales magnéticos hasta sistemas de materia condensada y dinámica de fluidos cuánticos. “Creemos que este enfoque puede ofrecer insights valiosas sobre fenómenos críticos en diferentes contextos”, comenta Souza.

Además de Souza y Tsallis, el estudio contó con la participación del estudiante de maestría Samuel Martignago Soares y del investigador posdoctoral Lucas Squillante, ambos del equipo de Souza, y del posdoctorando Henrique Santos Lima, del CBPF. El trabajo recibió apoyo financiero de la FAPESP a través del proyecto “Investigación de las propiedades termodinámicas y de transporte de sistemas electrónicos fuertemente correlacionados”.

El artículo Universally Nondiverging Grüneisen Parameter at Critical Points puede ser accesado en: journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.111.L060409.